DICIEMBRE

Series de Potencias

Expresada así:

 

• Propiedades:

Sea para cada n y suponiendo que entonces se deducen dos posibilidades:

1. Si 0<R<1 , entonces   es convergente.
2. Si R>1 , entonces   es divergente.

Serie de Taylor 

Si una función es analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, la cual es similar a la serie de funciones reales.

Propiedad 1

Si f es analítica en Zo entonces  f puede tener un desarrollo mediante una serie de Taylor

Si Zo = 0, entonces la serie toma el nombre de serie de MACLAURIN

 

El desarrollo de la serie de Taylor se realiza mediante la generalización de derivadas sucesivas de la función evaluadas en el punto Zo, como por ejemplo:

También se puede realizar el desarrollo de la serie de Taylor mediante otros procedimientos:

• Por sustitución: 

• Por división: 

• Por derivación: 

 

• Por integración: 

 

 Serie de Laurent

Sea el caso de que f(z) no es analítica en Zo, entonces la serie no admite desarrollo mediante una serie de Taylor , pero admite un desarrollo por la serie de Laurent. 

• Propiedad 1:

Si f(z) es continua en el anillo expresado por: , entonces para z en ese anillo se expresa la serie de Laurent así:

 

 

La gráfica representa el anillo de la serie de Laurent de una función.

 Ejemplo:

Halle la serie de Laurent